概率分布

最后修改时间：2026年5月27日

在概率统计中，概率分布描述随机变量各个取值或取值区间对应的概率。连续随机变量通常用概率密度函数（PDF）描述，离散随机变量通常用概率质量函数（PMF）描述。

每个分布通常都有对应的累积分布函数、均值和方差。下面列出常见连续分布和离散分布，便于学习和查表。

累积分布函数

概率分布由累积分布函数F（x）描述，

这是随机变量X获得小于或等于x的值的概率。

F_X(x) = P(X ≤ x)

通过对连续随机变量X的概率密度函数f（u）进行积分来计算累积分布函数F（x）。

累积分布函数F（x）通过离散随机变量X的概率质量函数P（u）的总和来计算。

连续分布是连续随机变量的分布。

常见连续分布包括正态分布、连续均匀分布、指数分布、伽玛分布和卡方分布等。

分布名称	分布符号	概率密度函数（pdf）	均值	方差
		f_X(x)	μ = E(X)	σ² = Var(X)
正态分布	X ~ N(μ, σ²)	$\ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} e ^ {-\ frac {（x- \ mu）^ 2} {2 \ sigma ^ 2}}$	μ	σ ²
均匀分布	X ~ U(a, b)	$\ begin {Bmatrix} \ frac {1} {ba}＆，a \ leq x \ leq b \\＆\\ 0＆，否则\ end {matrix}$		$\ frac {（ba）^ 2} {12}$
指数分布	X ~ Exp(λ)	$\ begin {Bmatrix} \ lambda e ^ {-\ lambda x}和x \ geq 0 \\ 0＆x <0 \ end {matrix}$	$\ frac {1} {\ lambda}$	$\ frac {1} {\ lambda ^ 2}$
伽玛分布	X ~ Gamma(c, λ)	$\ frac {\ lambda ^ cx ^ {c-1} e ^ {-\ lambda x}} {\ Gamma（c）}$ x ≥ 0, c > 0, λ > 0	$\ frac {c} {\ lambda}$	$\ frac {c} {\ lambda ^ 2}$
卡方分布	X ~ χ²(k)	$\ frac {x ^ {k / 2-1} e ^ {-x / 2}} {2 ^ {k / 2} \ Gamma（k / 2）}$	k	2k
威沙特分布
F 分布	X ~ F(k₁, k₂)
贝塔分布
威布尔分布
对数正态分布	X ~ LN(μ, σ²)
瑞利分布
柯西分布
狄利克雷分布
拉普拉斯分布
列维分布
莱斯分布
学生 t 分布

离散分布是离散随机变量的分布。

常见离散分布包括二项分布、泊松分布、离散均匀分布、几何分布、超几何分布和伯努利分布等。

分布名称	分布符号	概率质量函数（pmf）		均值	方差
		f_X(k) = P(X = k) k = 0,1,2...		E(X)	Var(X)
二项分布	X ~ B(n, p)	$\ binom {n} {k} p ^ {k}-p）^ {nk}$		np	np(1 - p)
泊松分布	X ~ Poisson(λ)		λ	λ	λ
离散均匀分布	X ~ U{a, ..., b}	$\ begin {Bmatrix} \ frac {1} {b-a + 1}和，a \ leq k \ leq b \\＆\\ 0＆，否则\ end {matrix}$		$\ frac {a + b} {2}$	$\ frac {（b-a + 1）^ {2} -1} {12}$
几何分布	X ~ Geom(p)	$p-p）^ {k}$		$\ frac {1-p} {p}$	$\ frac {1-p} {p ^ 2}$
超几何分布	X ~ Hypergeometric(N, K, n)		N = 0,1,2.. K = 0,1...N n = 0,1...N	$\ frac {nK} {N}$	$\ frac {nK（NK）（Nn）} {N ^ 2（N-1）}$
伯努利分布	X ~ Bernoulli(p)	$\ begin {Bmatrix}-p）＆，k = 0 \\ p＆，k = 1 \\ 0＆，否则\ end {matrix}$		p	p(1 - p)