基本概率公式

最后修改时间：2026年5月27日

事件概率

常用概率规则

互补事件

事件 A 的补事件记作 A^c，表示 A 不发生。

P(A^c) = 1 - P(A)

加法规则

两个事件至少有一个发生的概率为：

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

互斥事件

如果事件 A 和 B 不能同时发生，则它们是互斥事件。

P(A ∩ B) = 0

条件概率

在事件 B 已发生的条件下，事件 A 发生的概率为：

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

贝叶斯公式

贝叶斯公式用于根据已知证据更新事件概率：

P(A | B) = P(B | A) · P(A) / P(B)

独立事件

如果事件 A 的发生不影响事件 B 的概率，则 A 和 B 相互独立。

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

随机变量和分布函数

累积分布函数

累积分布函数表示随机变量 X 不超过 x 的概率。

F_X(x) = P(X ≤ x)

概率质量函数

对于离散随机变量，概率质量函数（PMF）给出每个取值的概率，所有可能取值的概率和为 1。

∑ P(X = x_i) = 1

概率密度函数

对于连续随机变量，概率密度函数（PDF）本身不是某一点的概率，而是通过区间积分得到概率。

f_X(x) = dF_X(x) / dx

F_X(x) = ∫_-∞^x f_X(y) dy

P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f_X(x) dx

∫_-∞^∞ f_X(x) dx = 1

协方差与相关系数

协方差衡量两个随机变量共同变化的方向，相关系数则把协方差标准化到 -1 到 1 之间。

Cov(X,Y) = E[(X - μ_X)(Y - μ_Y)] = E(XY) - μ_Xμ_Y

corr(X,Y) = Cov(X,Y) / [Std(X) · Std(Y)]

常见离散分布提示

• 伯努利分布：一次试验只有失败和成功两种结果，常记为 0 和 1。
• 几何分布：描述首次成功前失败次数或首次成功所需试验次数。
• 超几何分布：从含有成功对象和失败对象的有限总体中不放回抽样。