拉普拉斯变换把时域函数 f(t) 转换为 s 域函数 F(s)，常用于微分方程、控制系统和信号分析。
F(s)=ℒ{f(t)}=∫0∞ e-stf(t)dt
它能把求导和积分问题转成代数运算，方便求解线性系统。
| 时域 f(t) | 拉普拉斯变换 F(s) |
|---|---|
| 1 | 1/s |
| t | 1/s2 |
| tn | n!/sn+1 |
| eat | 1/(s-a) |
| sin(at) | a/(s2+a2) |
| cos(at) | s/(s2+a2) |
| 性质 | 公式 |
|---|---|
| 线性 | ℒ{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s) |
| 导数 | ℒ{f'(t)}=sF(s)-f(0) |
| 积分 | ℒ{∫f(t)dt}=F(s)/s |
| 平移 | ℒ{eatf(t)}=F(s-a) |
逆变换把 s 域函数还原回时域函数，通常通过变换表、部分分式分解或卷积定理求解。
ℒ{3t+2t2}=3/s2+4/s3
ℒ-1{3/(s-2)-3/(s+3)}=3e2t-3e-3t