积分通常分为不定积分和定积分。不定积分寻找原函数，定积分描述区间上的累积量，常见于面积、体积和物理量计算。
∫f(x)dx = F(x)+C
∫ab f(x)dx
| 性质 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 线性 | ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx | 可拆开逐项积分。 |
| 常数倍 | ∫a·f(x)dx=a∫f(x)dx | 常数可提出积分号外。 |
| 换元 | ∫f(g(t))g'(t)dt=∫f(x)dx | 常用于复合函数积分。 |
| 分部积分 | ∫u dv = uv - ∫v du | 适合处理乘积型积分。 |
| 函数 | 积分 |
|---|---|
| ∫xndx | xn+1/(n+1)+C，n≠-1 |
| ∫1/x dx | ln|x|+C |
| ∫exdx | ex+C |
| ∫sin x dx | -cos x + C |
| ∫cos x dx | sin x + C |
| ∫1/(1+x2)dx | arctan x + C |
定积分可以理解为曲线与 x 轴之间的有向面积，也能表示质量、路程、概率等累积量。
∫ab f(x)dx = F(b)-F(a)
这就是微积分基本定理的核心形式。
对于更深入的学习，还会遇到伽玛函数、贝塔函数、积分变换和特殊函数等内容。